Đề bài: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\); \(AB = AD = 2a\); \(CD = a\); số đo góc nhị diện \([S, BC, A]\) bằng \(60^\circ\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Biết hai mặt phẳng \((SBI)\) và \((SCI)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).
Ta có: \((SBI) \perp (ABCD)\) và \((SCI) \perp (ABCD)\).
Giao tuyến của \((SBI)\) và \((SCI)\) là \(SI\).
\(\Rightarrow SI \perp (ABCD)\). Vậy \(SI\) là đường cao của hình chóp.
\(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A, D\).
\(S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \times AD}{2} = \frac{(2a + a) \times 2a}{2} = 3a^2\).
Kẻ \(IH \perp BC\) tại \(H\). Vì \(SI \perp BC\) nên \(BC \perp (SIH) \Rightarrow BC \perp SH\).
Góc nhị diện \([S, BC, A]\) chính là góc \(\widehat{SHI} = 60^\circ\).
Dùng phương pháp tọa độ phẳng (gốc \(D\)): \(D(0,0), A(0,2a), B(2a,2a), C(a,0)\), \(I(0,a)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\): \(2x - y - 2a = 0\).
Khoảng cách \(IH = d(I, BC) = \frac{|2(0) - a - 2a|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{3a}{\sqrt{5}}\).
\(SI = IH \times \tan(60^\circ) = \frac{3a}{\sqrt{5}} \times \sqrt{3} = \frac{3a\sqrt{15}}{5}\).
\(V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SI\)
\(V = \frac{1}{3} \times 3a^2 \times \frac{3a\sqrt{15}}{5} = \frac{3a^3\sqrt{15}}{5}\)